Elivis' Blog

前言

课程信息

教材：《电路》，邱关源著

教学范围：教材1、2、3、4、6、7、8、9章节，并且可控源不讲。

说在前面的话

本文面向的人群是已经学过《电磁学》（至少学过电路、暂态、交流电部分内容）的人。如果你已经学过这部分内容，甚至如果你的电磁老师善于拓展，你会发现《电路》中的教学内容几乎100%是电磁学中已经习得的内容。（因此这门课在我看来确实没有什么开的必要）

那么本教程的意义在哪里？

答：《电路》虽然几乎没有任何的知识增量要求，但是对我们的计算速度和解题技巧有了更高的要求。下面的教程首先会帮助你适应《电路》中的术语体系，其次主要讲解需要注意的地方来帮助你解题。

在每一部分的开头会标出对应《电路》课本的章节和默认电磁学中应当已经熟练掌握的前置知识，对于前置知识文中将不再赘述。

速通

1.正方向的标定

第一章：电路模型和电路定律

前置知识*：电流、电压、功率的概念；电路方程

对一个电路中的元件，如果电流从标“$+$”的一极流向标“$-$”的一极，那么我们称这个元件的电流和电压是“相关联的”，此时的标定方向成为关联参考方向。在自己列回路时，请总是使用关联参考方向来确保标定风格的一致性，相信我，这会避免很多麻烦。（这里的”标定方向“并不是实际电流方向，而是我们规定的电流方向，如果实际电流相反则电流加负号即可。）

很容易的，我们可以发现，负载型元件的电压和电流关系就是“相关联的“，而电源型元件在提供能量时电压和电流关系就是“非关联的“。因此我们可以进一步将关联参考方向和功率关联起来：如果流过一个元件的电流和电压是相关联的，那么这个元件在吸收功率，否则就是在发出功率。当然，发出功率$P$也就是吸收$-P$，反之亦然。在遇到求解功率时请看清题目问的是哪一种功率，正负号很重要，别弄混了。如果题目没说则务必自己写清是吸收还是发出功率。

2.电源的等效变换（重点）

第二章：电阻电路的等效变换

前置知识*：两种理想电源：理想电流源和理想电压源

电压源电流源的等效变换：

• 一个实际电压源是一个理想电压源和内阻串联；一个实际电流源是一个理想电流源和内阻并联
• 一个电压为$U$的理想电压源和内阻$R$串联可以等效为一个电流为$I=\frac{U}{R}$的理想电流源和内阻$R$并联
• 所谓等效只是外部等效，内部不等效。外部的电流，电压，功率分布都是等效的。

重点：电流源和电压源混联电路的电压电流计算，比如PPT上19页例题

• 技巧：混联电路中，和电压源直接并联的所有异种元件（也就是除了电压源以外的任意元件）可以直接忽略，和电流源直接串联的所有异种元件可以直接忽略。（前提是这个元件不在你想计算的那个支路上或者不是你想计算的那个元件）

  

• 活用电流源和电压源的等效。因为电压源的串联满足独立叠加（电动势相加，内阻相加）；电流源的并联满足独立叠加（电流相加，内阻直接并联）。所以在多电源计算的时候可以按照两个电源的位置进行合适的转换以方便进行电源合并运算。如果串联的多就往电压源去化，并联的多就往电流源去化。

3.几种列回路的方法（重点）

第三章：电阻电路的一般分析

前置知识*：基尔霍夫方程组

电磁学中我们靠着基尔霍夫方程“解决一切的电路问题”，而在电路中基尔霍夫方程被细化分类为几种不同的变形来更好的适应不同特征的电路。

电路中学到的列回路方法有四种（注意每一种的方程个数）：

	未知量	方程
支路电流法	电路中$m$个支路各设一个电流$i_i$	对$n - 1$个节点列KCL方程，再找$m-n+1$个独立回路列KVL方程
网孔电流法	平面网格中$k$个网孔各设置一个环绕网孔的假想电流$i_i$	对$k$个网孔回路列KVL方程
回路电流法	$n$节点$m$支路的电路，找到$m-n+1$个独立回路，设置环绕回路的假想电流$i_i$	对$m-n+1$个独立回路列KVL方程
节点电压法	电路中的$n$个节点中挑出$1$个（假想）接地，剩下$n-1$个节点各设一个电压$U_i$	对$n-1$个节点列电流守恒方程，但是每个电流都用电压表示出来

关于方程的选择：

• 支路电流法不要用，朴素算法计算量过大；
• 出现无伴电流源选用回路电流法；（无伴电流源指没有电阻与其直接并联的电流源）
• 出现无伴电压源选用节点电压法；（无伴电压源指没有电阻与其直接串联的电压源）
• 一般含源电路优先看网孔和节点两个方法，具体选用哪个要看网孔数和节点数哪个更少。

具体解题技巧及注意事项：

1. 列写电流以及电压方向很重要。我们曾经提到过总是使用关联参考方向来确保标定风格的一致性，这里依然如此。对于经典的KVL:$\sum{\pm U_i}=0$，公式中项的正负规则如下：首先选择一个支路电流方向，如果元件电压和选择的电流关联则取正号，否则取负号。

2. 回路电流法和网孔电流法有很多相似之处，故在此一并讨论。电路采用引入自电阻和互电阻的概念来方便快速的列写方程。自电阻$R_{ii}$指的是电流$I_{i}$自己绕行回路中的电阻，互电阻$R_{ij}$指的是电流$I_{i}$回路中$I_{j}$流过的那部分电阻。此方法列写的方程形如：$\sum_{i,j}{\pm I_iR_{ij} + \sum{U_i}}=0$。首先就是统一环绕方向为顺时针，统一绕行方向对后面快速列方程大有脾益。其次要注意注意选取独立回路。

3. 用节点电压法解题时：首先选择一个节点接地，这样可以少写一个电压（此电压被规定为$0V$）。然后针对除了接地点外的节点列写节点电流方程。列写方法：同样是自电阻和互电阻，自电阻总为正，互电阻总为负。（自电阻互电阻的列写方法速度和准确率均优于传统的支路电势差电流法，highly recomended）

4. 存在无伴电压源和有伴电流源的这两种特殊情况（常考）：

   无伴电压源的情况：用节点电压法，选取无伴电压源的一端接地。此时可以直接写出另一端的电压就是电压源的电压$U$，可以少列一个节点的节点电流方程。否则则必须假设一个新的未知数：电压源的分流。
   对于电路中存在有伴电流源（就是说有一个电阻和电源直接并联的电流源），等效成电压源来代入方程；对于电路中存在无伴电流源，用回路电流法使得有且仅有一个回路电流经过电流源，可以直接写出回路电流为恒流源电流。（习题3-16b）否则则必须假设一个新的未知数：电流源的分压。

5. 回路电流法和网孔电流法有很多相似之处，但并不完全相同：网孔电流法是回路电流法的特殊情况，网孔电流只适用于平面图网络，回路电流法则无此限制；于有$n$顶点（节点）$m$边（支路）的电路，其回路电流法独立方程个数为$m-n+1$；如果这个电路图是个平面图（注意：这个平面图指的是图论中的平面图），那么独立数也等于网孔的个数$k$，恰好就是网孔电流的独立方程个数。联想一下：平面图的欧拉定理：$r=e-v+2$，因为有$r=k+1$（网络外面也算一个平面），所以自然有$k=m-n+1$。

4.电路定理

第四章：电路定理

前置知识*：阻抗匹配；最大功率传输定理

关于电路线性性的几个基本定理：

• 叠加原理：不用的电压源变导线，电流源拆掉；电压电流能叠加，功率不能叠加。

• 一端网络的输入电阻：内部电压源变导线，电流源拆掉后的端口电阻。

• 戴维宁定理（等效电压源）：任何一个线性含源一端口网络，对外电路来说，总可以用一个电压源和电阻的串联组合来等效置换；电压源的电压等于外电路断开时端口处的开路电压，电阻等于一端口的输入电阻。

• 诺顿定理（等效电流源）：任何一个含源线性一端口电路，对外电路来说，可以用一个电流源和电阻的并联组合来等效置换；电流源的电流等于该一端口的短路电流，电阻等于该一端口的输入电阻。（事实上几乎不用诺顿定理，用也是先用戴维宁再用等效变换成电流源。）

特勒根定理：

• 功率守恒：集总电路在支路电流和电压取关联参考方向下，任意时刻都满足：$\sum_{k=1}^{b}{u_ki_k} = 0$，b是支路个数。

• 拟功率定理：当两个电路具有相同的图，但由内容不同的支路构成，在支路电流和电压取关联参考方向下满足：

  $\sum_{k=1}^{b}{u_k \hat{i_k}} = \sum_{k=1}^{b}{i_k \hat{u_k}} = 0$

• 常见应用场景：C和D是两块区域，其中A区域电路情况未知，CD区域不同内容测量两次参量。

  

• 列写步骤：

1. 先写好骨架：$-U_1I_1-U_2I_2-U_3I_3...=-U_1I_1-U_2I_2-U_3I_3...$，
   这里写负号是有意为之，后面会解释。
2. 交叉hat：$-\hat{U_1}I_1-\hat{U_2}I_2-\hat{U_3}I_3...=-U_1\hat{I_1}-U_2\hat{I_2}-U_3\hat{I_3}...$
3. 判断正负号，前面写负号就是方便这一步改正号用的。判断原则：如果$\hat{U_i}$和$I_i$为关联方向则则$\hat{U_i}I_i$取正号，其他项同理。

互易定理：在单一激励的线性网络中，激励和响应互换位置结果不变。（注意条件：端口激励和响应互换前后极性保持一致，翻译成符号语言就是：激励参数为$f$（互换前）$\hat{f}$（互换后），响应参数为$g$（互换前）$\hat{g}$（互换后），互换前后极性保持一致指的是{$f$和$\hat{g}$方向关联且$g$和$\hat{f}$方向关联}或{$f$和$\hat{g}$方向非关联且$g$和$\hat{f}$方向非关联}）。

5. 一阶电路的时域分析

第六章 储能元件
第七章 一阶电路的时域分析

前置知识*：换路定律；电容电感的电流电压储能性质。

• 时间常数：$\tau=R_{eq}C=\frac{L}{R_{eq}}$，$R_{eq}$是将容感元件之外的电路用戴维宁等效后的等效电阻。

• 零输入响应：电路没有激励源，仅靠初始元件储能完成后续状态变化。

• 零状态响应：电路元件初始储能为0，仅靠激励完成后续状态变化。

• 全响应：电路的一般状态，在一阶线性电路中全响应=零输入响应+零状态响应。

• 如何从题目所给信息中快速一步写出电路任意时刻电流或电压的表达式？三要素法求全响应，
  ​ 其中$f(\infty)$是电路达到新稳态时待求量的值，$f(0_+)$由换路定理计算，$\tau$是时间常数：

$f(t)=f(\infty)+[f(0_+)-f(\infty)]e^{-\frac{t}{\tau}}$

6.正弦交流电路的分析

第八章 相量法
第九章 正弦稳态电路的分析

前置知识*：交流电的向量和复数表示法；交流元件复阻抗表示法；交流电功率的计算；阻抗匹配；复数法解交流电

• 交流瞬时值$f(t)=f_Mcos(\omega t+\phi)=\sqrt{2}fcos(\omega t+\phi)$（$\sqrt{2}$是个坑）

  三要素：有效值：$f$；频率：$\omega=2 \pi f_t$；相位：$\phi$。

  向量表示法：$\dot{f}=f\angle\phi$

• 四个相似三角形：

• 最大功率传输定律：当$Z_{负载}=Z_{eq}^*$时（星号表示复数共轭），传输的功率（也就是实功率$P$）最大
• 最后尤其要注意的一点是，在交直流混联电路中我们往往会用叠加定理把交流和直流部分分开求解再用叠加定理计算。再叠加的时候注意交流电路和直流电路参量代表含义不同——比如交流电部分$\dot{I_1}=1A$，直流电部分$I_2=1A$，则总电流$I = \dot{I_1} + I_2 \mathrlap{\,/}{=} 2A$。正确答案$I = (1 + \sqrt{2}cos(\omega t) )A$

总结

本课程知识点简单，考试题目个数少且分值重，尤其需要注意细节。细节到位满绩速通并不困难。

另外我已经向老师反馈课程知识重复的太多的问题了，但是怎么改能改多少我就不知道了，只是这学期看起来真的像纯纯浪费时间（没错所以我一节课都没听过x